AtCoder Regular Contest 069: F - Flags

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http://arc069.contest.atcoder.jp/tasks/arc069_d

二分探索の上限とかで定数倍高速化したらいけるかなと思ったらだめだった。 それでも最悪ケース以外はsegment木しない方がかなり速くなるっぽい。

solution

二分探索。2-SAT。segment木で頂点を管理するテクで対数個の項で解く。$x_i, y_i$の大きさの最大値を$z$として$O(N \log N \log z)$。

答えについて二分探索を考える。2つの旗同士の距離の最小値が$d$以上であるという制約は、命題$\phi(i)$を「$i$番目の旗は$x_i$に置く」とすると、$\phi(i)$を前提に持つ制約は$\bigwedge \{ \phi(i) \to \lnot \phi(j) \mid |x_j - x_i| \lt d \land j \ne i \} \land \bigwedge \{ \phi(i) \to \phi(j) \mid |y_j - x_i| \lt d \land j \ne i \}$となる。これは連言標準形で書き直せば2-SATで解ける。

普通に2-SATに落とすだけだと項数が$O(N^2)$になる。 ここで変数をsegment木っぽく管理して、変数の数$O(N)$項数$O(N \log N)$に落とす。 segment木の葉は$2N$個用意し$\phi(i)$と$\lnot \phi(i)$を割り当てる。 子から親へ$l \to p$と$r \to p$と項を張り、頂点はその部分木中に真となる変数がひとつ以上あるかを持つ。 葉は整列しておいてその区間に対しdisjoint制約を投げ込むようにする。

disjoint制約を張るときは、被覆するような部分木の根たちを操作するだけでは不十分なことに注意。 以下のように$[9, 16)$をdisjointとするとき、$\{ 9, 5, 3 \}$の間にこれを張るだけでなく$\{ 10, 11 \}, \{ 6, 7 \}, \{ 12, 13 \}, \{ 14, 15 \}$にも必要。

               1
         2           3
      4     5     6     7
     8  9 10 11 12 13 14 15
       [                   )

implementation

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <numeric>
#include <tuple>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cassert>
#define repeat(i,n) for (int i = 0; (i) < int(n); ++(i))
#define repeat_from(i,m,n) for (int i = (m); (i) < int(n); ++(i))
#define whole(f,x,...) ([&](decltype((x)) whole) { return (f)(begin(whole), end(whole), ## __VA_ARGS__); })(x)
using namespace std;
template <class T> inline void setmin(T & a, T const & b) { a = min(a, b); }
template <class T> inline void setmax(T & a, T const & b) { a = max(a, b); }

struct strongly_connected_components {
    static pair<int,vector<int> > decompose(vector<vector<int> > const & g) { // adjacent list
        strongly_connected_components scc(g);
        return { scc.k, scc.c };
    }
private:
    int n;
    vector<vector<int> > to, from;
    explicit strongly_connected_components(vector<vector<int> > const & g) : n(g.size()), to(g), from(n) {
        repeat (i,n) for (int j : to[i]) from[j].push_back(i);
        decompose();
    }
    vector<bool> used;
    vector<int> vs;
    void dfs(int i) {
        used[i] = true;
        for (int j : to[i]) if (not used[j]) dfs(j);
        vs.push_back(i);
    }
    int k; // number of scc
    vector<int> c; // i-th vertex in g is in c_i-th vertex in scc-decomposed g
    void rdfs(int i) {
        used[i] = true;
        c[i] = k;
        for (int j : from[i]) if (not used[j]) rdfs(j);
    }
    void decompose() {
        used.clear(); used.resize(n, false);
        repeat (i,n) if (not used[i]) dfs(i);
        used.clear(); used.resize(n, false);
        k = 0;
        c.resize(n);
        reverse(vs.begin(), vs.end());
        for (int i : vs) if (not used[i]) {
            rdfs(i);
            k += 1;
        }
    }
};

vector<bool> twosat(int n, vector<pair<int, int> > const & cnf) {
    // make digraph
    vector<vector<int> > g(2*n);
    auto i = [&](int x) { assert (x != 0 and abs(x) <= n); return x > 0 ? x-1 : n-x-1; };
    for (auto it : cnf) {
        int x, y; tie(x, y) = it; // x or y
        g[i(- x)].push_back(i(y)); // not x implies y
        g[i(- y)].push_back(i(x)); // not y implies x
    }
    // do SCC
    vector<int> component = strongly_connected_components::decompose(g).second;
    vector<bool> valuation(n);
    repeat_from (x,1,n+1) {
        if (component[i(x)] == component[i(- x)]) { // x iff not x
            return vector<bool>(); // unsat
        }
        valuation[x-1] = component[i(x)] > component[i(- x)]; // use components which indices are large
    }
    return valuation;
}

int main() {
    int n; scanf("%d", &n);
    vector<int> x(n), y(n); repeat (i,n) scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
    // use segment tree for props of 2-sat
    int segtree_n = 2*pow(2, ceil(log2(n)));
    auto is_x = [&](int i) { return    2*segtree_n+i; };
    auto is_y = [&](int i) { return - (2*segtree_n+i); };
    auto dist = [&](int p) { return p > 0 ? x[p-2*segtree_n] : y[-p-2*segtree_n]; };
    vector<int> ps(2*n);
    repeat (i,n) {
        ps[2*i  ] = is_x(i);
        ps[2*i+1] = is_y(i);
    }
    whole (sort, ps, [&](int p, int q) { return dist(p) < dist(q); });
    auto pred = [&](int limit) {
        vector<pair<int, int> > cnf;
        auto implies = [&](int i, int j) { cnf.emplace_back(- i, j); };
        // add links to parent
        repeat_from (i,1,segtree_n) {
            int l = 2*i;
            int r = 2*i+1;
            implies(l, i);
            implies(r, i);
        }
        // add links between leaves and original props
        repeat (i,2*n) {
            implies(segtree_n+i, ps[i]);
            implies(ps[i], segtree_n+i);
        }
        // add links to express the constraints
        int l = 0;
        vector<bool> disjoint(2*segtree_n);
        repeat_from (r,1,2*n+1) {
            while (dist(ps[l]) + limit <= dist(ps[r-1])) ++ l;
            vector<int> acc; {
                int il = l;
                int ir = r;
                for (il += segtree_n, ir += segtree_n; il < ir; il /= 2, ir /= 2) {
                    if (il % 2 == 1) acc.push_back(il ++);
                    if (ir % 2 == 1) acc.push_back(-- ir);
                }
            }
            repeat (j, acc.size()) {
                disjoint[acc[j]] = true;
                repeat (i, j) if (i != j) {
                    implies(acc[i], - acc[j]);
                    implies(acc[j], - acc[i]);
                }
            }
        }
        repeat_from (i,1,segtree_n) {
            if (disjoint[i]) {
                int l = 2*i;
                int r = 2*i+1;
                implies(l, - r);
                implies(r, - l);
                disjoint[l] = true;
                disjoint[r] = true;
            }
        }
        return not twosat(2*segtree_n-1+n, cnf).empty();
    };
    // binary search
    int l = 0, r = 1e9+7;
    repeat (i,n) {
        repeat (j,n) if (i != j) {
            int acc = 0;
            setmax(acc, abs(x[i] - x[j]));
            setmax(acc, abs(x[i] - y[j]));
            setmax(acc, abs(y[i] - x[j]));
            setmax(acc, abs(y[i] - y[j]));
            setmin(r, acc+1);
        }
    }
    while (l + 1 < r) {
        int m = (l + r) / 2;
        (pred(m) ? l : r) = m;
    }
    printf("%d\n", l);
    return 0;
}