Yukicoder No.329 全射

,

http://yukicoder.me/problems/no/329

圏?

solution

$O(N^3)$で自然に。全射$f : A \twoheadrightarrow B$の数は$O(N^2)$で求まる式がある。

まず、全射はひとつ作れることを確認するだけでよい。 全射$f : A \twoheadrightarrow B$が全射としたとき、任意の関数$g : A \to A$が使えるのでこれを適当な全単射とすれば、$f \circ g$として任意の全単射が作れる。

次に、合成関数$f_k \circ f_{k-1} \circ \dots \circ f_1 : A_1 \to A_{k+1}$を全射にするような$f_1, f2, \dots, f_k$が取れる条件を考える。 これは$1 \le i \le k$な$i$に関して$|A_i| \ge |A_{k+1}|$であればよい。

よって、終域$A$を固定し、$|B| \ge |A|$な頂点$B$のみを通って辿り着けるような頂点を列挙すればよい。 そのような頂点の大きさ$|B|$ごとに、全射の数を数えて足し合わせればよい。

全射の数については: http://mathtrain.jp/zensya

implementation

#include <iostream>
#include <vector>
#include <functional>
#include <cassert>
#define repeat(i,n) for (int i = 0; (i) < (n); ++(i))
#define repeat_from(i,m,n) for (int i = (m); (i) < (n); ++(i))
typedef long long ll;
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
ll second_kind_stirling(ll n, ll k) { // O(nk)
    assert (0 <= n and 0 <= k);
    if (n  < k) return 0;
    if (n == k) return 1;
    if (k == 0) return 0;
    static vector<vector<ll> > memo;
    if (memo.size() <= n) {
        int l = memo.size();
        memo.resize(n + 1);
        repeat_from (i,l,n+1) memo[i].resize(i);
    }
    if (memo[n][k]) return memo[n][k];
    return memo[n][k] = (second_kind_stirling(n-1, k-1) + k * second_kind_stirling(n-1, k) % mod) % mod;
}
ll fact(ll n) {
    static vector<ll> memo(1,1);
    if (memo.size() <= n) {
        int l = memo.size();
        memo.resize(n + 1);
        repeat_from (i,l,n+1) memo[i] = memo[i-1] * i % mod;
    }
    return memo[n];
}
int main() {
    int n, m; cin >> n >> m;
    vector<int> w(n); repeat (i,n) cin >> w[i];
    vector<vector<int> > g(n);
    repeat (k,m) {
        int i, j; cin >> i >> j; -- i; -- j;
        g[j].push_back(i); // inverse
    }
    ll ans = 0;
    repeat (i,n) {
        vector<bool> used(n);
        function<void (int)> go = [&](int j) {
            used[j] = true;
            for (int k : g[j]) if (not used[k]) {
                if (w[i] <= w[k]) {
                    go(k);
                }
            }
        };
        go(i);
        repeat (j,n) if (used[j]) {
            ans += fact(w[i]) * second_kind_stirling(w[j], w[i]) % mod;
        }
    }
    ans = (ans % mod + mod) % mod;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}