注意

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予備知識 / 補足説明

複数の関連したqubitsの状態はentanglement (量子もつれ状態)の存在によって単純ではない。 そこで、qubitそれぞれの状態を$n$つ組として並べるのではなくて、qubits全体というひとつの対象に対し状態を与える。 例えば$3$個のqubitsがあるなら$\ket{000}, \ket{001}, \ket{010}, \ket{011}, \dots, \ket{111}$まで$8 = 2^3$個の基底状態を用意し、ひとつの場合と同様に線形結合する。 このようにすることで例えば $\ket{B_0} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{00} + \ket{11} \right)$ つまり「どちらの基底状態かは分からないけどふたつのqubitsの状態は同じだよ」を表現できる。

これらの状態に使うベクトル空間はテンソル空間、特に単独のqubitのためのベクトル空間の$n$個のテンソル積であるようなものとする。 これにより$\ket{101} = \ket{1}_0 \otimes \ket{0}_1 \otimes \ket{1}_2$などと書ける。 テンソル積は双線型なのでなどとなることにも注意。

次にgatesがどうなるのかについて。 これは線型写像のテンソル積になる。 例としてふたつのqubitsが状態$\ket{B_0}$にあるときに$1$番目のものをNOT gate に通すことを考えよう。 単位行列$I$を持ってきて$I \otimes X$が目的の操作となる。 $(A \otimes B)(x \otimes y) = Ax \otimes By$なので、状態はに移る。

参考